ÁP DỤNG BĐT Cauchy ta có : 

\(\text{a}_1+\text{a}_2+...+\text{a}_n\ge n^n\sqrt{\text{a}_1.\text{a}_2....\text{a}_n}\)  (1) 

\(\frac{1}{\text{a}_1}+\frac{1}{\text{a}_2}+...+\frac{1}{\text{a}_n}\ge n^n\sqrt{\frac{1}{\text{a}_1}\cdot\frac{1}{\text{a}_2}\cdot...\cdot\frac{1}{\text{a}_n}}\)(2) 

Nhân (1) và (2) vế với vế tương ứng ta có được BĐT (*) 

Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\text{a}_1=\text{a}_2=...=\text{a}_n\\\frac{1}{\text{a}_1}=\frac{1}{\text{a}_2}=...=\frac{1}{\text{a}_n}\end{cases}}\)

                             \(\Leftrightarrow\text{a}_1=\text{a}_2=...=\text{a}_n\)

Ta có: 

y₀² + ay₀ + b = 0

\(\Leftrightarrow\)y₀⁴ = (ay₀ + b)²

\(\le\)(a² + b²)(y₀² + 1)

\(\Rightarrow\)y₀⁴ - 1 < (a² + b²)(y₀² + 1)

\(\Rightarrow\)y₀² - 1 < a² + b²

\(\Rightarrow\)y₀² < 1 + a² + b²

3/ Dễ thấy \(0\le x,y,z\le1\)

Ta có:

x² + y² + z² = x³ + y³ + z³

\(\Leftrightarrow\)x²(1 - x) + y²(1 - y) + z²(1 - z) = 0

Dấu =  xảy ra khi (x, y, z) = (0,0,1) và các hoán vị của nó

Còn câu 1 phương thử nghĩ xem sao. H có ý tưởng thế này. Chứng minh 1 +1/2 + 1/3 + ... + 1/n >= a (nào đó) rồi làm tiếp.

Chưa tìm ra a. Phương tự làm câu này nhé.

áp dụng t.c dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\frac{a1}{a2}=\frac{a2}{a3}=\frac{a3}{a4}=.....=\frac{an}{an+1}=\frac{a1+a2+a3+....+an}{a2+a3+a4+...+an+1}\)

\(\frac{a1}{a2}\cdot\frac{a2}{a3}\cdot\frac{a3}{a4}\cdot...\cdot\frac{an}{an+1}=\frac{a1}{an+1}=\left(\frac{a1}{a2}\right)^n=\left(\frac{a1+a2+a3+....+an}{a2+a3+a4+...+an+1}\right)^n\)(vì từ 1 đến n có n chữ số)

=> đpcm

Bài 1:

a) Từ đkđb:

$x+y+z=0\Rightarrow x+y=-z; y+z=-x; z+x=-y$

$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=0\Rightarrow xbc+yac+zab=0$

$a+b+c=0\Rightarrow a=-(b+c)\Rightarrow a^2=(b+c)^2$

$\Rightarrow a^2x=(b+c)^2x$.

Tương tự: $b^2y=(a+c)^2y; c^2z=(a+b)^2z$

Do đó:

$a^2x+b^2y+c^2z=(b+c)^2x+(a+c)^2y+(a+b)^2z=a^2(y+z)+b^2(z+x)+c^2(x+y)+2(xbc+yac+zab)$

$=a^2(-x)+b^2(-y)+c^2(-z)+2.0=-(a^2x+b^2y+c^2z)$

$\Rightarrow 2(a^2x+b^2y+c^2z=0$

$\Rightarrow a^2x+b^2y+c^2z=0$ (đpcm)

b)

\(\left\{\begin{matrix} x=by+cz\\ y=ax+cz\\ z=ax+by\end{matrix}\right.\Rightarrow \frac{x+y+z}{2}=ax+by+cz\)

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} ax=\frac{x+y+z}{2}-x=\frac{y+z-x}{2}\\ by=\frac{x+y+z}{2}-y=\frac{x+z-y}{2}\\ cz=\frac{x+y+z}{2}-z=\frac{x+y-z}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=\frac{y+z-x}{2x}\\ b=\frac{x+z-y}{2y}\\ c=\frac{x+y-z}{2z}\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a+1=\frac{y+z+x}{2x}\\ b+1=\frac{x+z+y}{2y}\\ c+1=\frac{x+y+z}{2z}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow \frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}=\frac{2x}{x+y+z}+\frac{2y}{x+y+z}+\frac{2z}{x+y+z}=2\) (đpcm)

Bài 2:
Đặt $\frac{a_2}{a_1}=x; \frac{b_2}{b_1}=y; \frac{c_2}{c_1}=z$

Khi đó bài toán trở thành: Cho $x,y,z\neq 0$ thỏa mãn \(\left\{\begin{matrix} \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\\ x+y+z=1\end{matrix}\right.\)

CMR: $x^2+y^2+z^2=1$

-----------------------------------

Thật vậy:

Ta có: \(\left\{\begin{matrix} \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\\ x+y+z=1\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} xy+yz+xz=0\\ x+y+z=1\end{matrix}\right.\)

Khi đó: $x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+xz)=1^2-2.0=1$ (đpcm)

Vậy........

Bài 3:

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\Rightarrow xy+yz+xz=0\)

\(\Rightarrow yz+xz=-xy\)

Khi đó:

\(M=\frac{(yz)^3+(xz)^3+(xy)^3}{x^2y^2z^2}=\frac{(yz+xz)^3-3yz.xz(yz+xz)+(xy)^3}{x^2y^2z^2}\)

\(=\frac{(-xy)^3-3yz.xz(-xy)+(xy)^3}{x^2y^2z^2}=\frac{3x^2y^2z^2}{x^2y^2z^2}=3\)